دانشگاه صنعتی شریف پاسخنامه امتحان میانترم اقتصاد کالن پیشرفته دکتر محمدحسین رحمتی- پاییز ۵۹۳۱ نویسنده: ناصر امنزاده سوال ۱(

Transcript

1 بسمه تعالی دانشگاه صنعتی شریف پاسخنامه امتحان میانترم اقتصاد کالن پیشرفته دکتر محمدحسین رحمتی- پاییز ۵۹۳۱ نیسنده: ناصر امنزاده سال ۱( N در این مساله n کدام از نیرهای کار را به معنی ساعت کاری یک فرد را مجمع زنی ساعات کاری کل اقتصاد در نظر میگیریم. تعداد هر G را به یک نرمال میکنیم. در این صرت N در تعادل برابر n خاهد بد. الف( متغیرهای حالت کنترل به صرت زیر هستند. k t, N t 1 n t G, n t, c t G, c t, k t+1 متغیر حالت: متغیر کنترل: در همه این مساله فرض میکنیم قید منابع برای برنامهریز مرکزی به صرت زیر است: c G t + c t + k t+1 (1 δ)k t = zf(k t, n t, n G t, N t 1 ) بنابراین معادله بلمن برای برنامهریز مرکزی به صرت زیر خاهد بد. v(k, N 1 ) = F. O. C [c ] 1 c = βv 1(k, N ) F. O. C [c G ] 1 c G = βv 1(k, N ) n G,n,c G,c,k {log(c ) nψ ψ + log(cg ) ngψ ψ + βv(k, N )} F. O. C [n G ] n Gψ 1 = βv 1 (k, N )zf 3 (k, n, n G, N 1 ) پس از جاگذاری k از قید منابع در معادله بلمن شرایط مرتبه ال به صرت زیر هستند: F. O. C [n ] n ψ 1 = βv 1 (k, N )zf 2 (k, n, n G, N 1 ) + βv 2 (k, N ) En. C En. C [k] v 1 (k, N 1 ) = βv 1 (k, N )(1 δ) [N 1 ] v 2 (k, N 1 ) = βv 1 (k, N )zf 4 (k, n, n G, N 1 )

2 ب( شرایط قضیه ال رفاه در این مساله صادق نیست به دلیل این که در تابع تلید میزان کل ساعات کاری نیری کار ۵ است. در دره قبل نیز تاثیر دارد این به معنی جد اثرات خارجی ج( باید مجمع نیری کار در دره قبل ( 1 t ) N از تابع تلید حذف گردد. {w G, w, r} د( تعادل رقابتی بازگشتی تابع } G {n G, n, c G, c, k G, k, K, K هستند که مطلبیت خانار سد بنگاه را بیشینه میکنند همچنین بازارها در آنها تسیه میشند )سازگارند(. در اینجا متغیرهای با حرف بزرگ مربط به متغیرهای مجمع اقتصاد هستند. K G K به ترتیب به معنی مجمع سرمایه مجد در اقتصاد در دره بعد مجمع سرمایه مجد در اقتصاد در دره بعد که مالک آن نیری کار نع G است میباشند. به جای نیری کار نع G میتانستیم در اینجا )G نیری کار نع را نیز قرار دهیم بدیهی است که: K K G + K = مجمع سرمایه در دست کارگران نع G )یا نسبت سرمایه کل تحت مالکیت نیری کار نع به این دلیل مهم است که ری عرضه کار کل نیرهای همنع اثرگذار است قیمت آنها در نتیجه عرضه نیری کار آنها را تحت تاثیر قرار میدهد. r w مساله خانارها: هر کدام از خانارهای نع i =, G خانار برای میکنند. متغیرهای حالت برابر با دادهشده فرضکردن هستند به صرت زیر بهینهسازی همچنین متغیرهای کنترل نیز برابر k i, N 1, K, K G i i هستند که c i n i به ترتیب مصرف میزان کار خانار نع هستند. v i (k i, N 1, K, K G ) = {log(ci ) niψ n i,c i, k i ψ + βvi (k i, N, K, K G )} n i, c i, k i s. t. c i + k i (1 δ)k i = w i n i + rk i 2 هر کدام از سرمایهها به صرت زیر هستند. معادله حرکت k i = g i (k i, N 1, K, K G ), for i = G, K = G(N 1, K, K G ) K G = J(N 1, K, K G ) مساله بنگاه: یک بنگاه داریم که با دادهشده فرضکردن w, r w G به صرت زیر بهینهسازی میکند. K,n,n G zf(k, n, n G, N 1 ) w G n G w n rk که در نتیجه خاهیم داشت: F. O. C [K] zf 1 (K, n, n G, N 1 ) = r ۵ Externality 2 Law of motion

3 F. O. C [n ] zf 2 (K, n, n G, N 1 ) = w F. O. C [n G ] zf 3 (K, n, n G, N 1 ) = w G سازگاری )معادل تسیه بازار(: نهایتا با شرایط سازگاری w, r w G تعیین میشند. K G = k G K = k + k G N 1 = n 1 G(N 1, K, K G ) = g (K K G, N 1, K, K G ) + g G (K G, N 1, K, K G ) J(N 1, K, K G ) = g G (K G, N 1, K, K G ) c + c G + K (1 δ)k = zf(k, n, n G, N 1 ) د ۲ ( در اینجا تعادل رقابتی sequential را هم می نیسیم. )البته این مرد جزء خاستههای مساله نیست( {w t, r t } t=0 {n G t, n t, c G t, c تعادل رقابتی مقادیری از متغیرهای t=0 t, k t+1 } قیمتهای خانارها سد بنگاه بیشینه شد همچنین شرایط تسیه بازار برقرار باشد. است به طری که مطلبیت r t w t i =, G بهینهسازی خانار: میکنند. هر کدام از خانارهای با دادهشده فرضکردن به صرت زیر بهینهسازی s. t. c i t, n i t,ki t+1 c i i t + k t+1 β t [log(c t i ) t=0 n t i ψ ψ ] (1 δ)k t i = w t i n t i + r t k t i در اینجا سرمایه د جزء دارد که مربط به خانارهای G است. مجمع این د مرد عرضه کل سرمایه را نشان میدهد. بهینهسازی بنگاه: یک بنگاه داریم که با دادهشده فرضکردن r t به صرت زیر بهینهسازی میکند. w t k t,n t,n t G zf(k t, n t, n G t, N t 1 ) w t n t w G t n G t r t k t بنابراین خاهیم داشت: F. O. C [k t ] zf 1 (k t, n t, n G t, N t 1 ) = r t F. O. C [n t ] zf 2 (k t, n t, n G t, N t 1 ) = w t

4 F. O. C [n t ] zf 3 (k t, n t, n G t, N G t 1 ) = w t تسیه بازار: نهایتا با شرایط تسیه بازار w t r t تعیین میشند. k t = k t + k t G N t 1 = n t 1 c G t + c t + k t+1 (1 δ)k t = zf(k t, n t, n G t, N t 1 ) ه( میزان کار در حالت برنامهریز مرکزی در صرتی که مشتق تابع تلید نسبت به مجمع نیری کار دره گذشته مثبت )منفی( باشد بیشتر )کمتر( از حالت رقابتی است. یعنی بستگی به عالمت F 4 (k t, n t, n G t, N t 1 ) دارد. باید دقت شد تنها تفاتی که این د مساله با هم دارند در این جمله است که برنامهریز مرکزی قتی میخاهد تصمیم بگیرد که چه مقدار نیری کار کنند تاثیر آن را برای دره بعد نیز در نظر میگیرد چن مجمع نیری کار تابع تلید دره بعد را تحت تاثیر قرار میدهد لی در حالت رقابتی خانار این مساله را نمیبیند. چن ا فقط در مرد میزان کار خدش تصمیم میگیرد مجمع نیری کار را دادهشده میگیرد. این تفات در نشتن شرط مرتبه ال نسبت به میشد در حالت برنامهریز مرکزی جمله ناشی از یک احد افزایش n F 4 (k t, n t, n G t, N t 1 ) n برنامهریز مرکزی بیشتر خاهد بد برعکس. باعث نیز اضافه شد. حال اگر این جمله مثبت باشد یعنی نفع برای برنامهریز مرکزی بیشتر از خانارها درحالت رقابتی است بنابراین نیری کار در حالت ( باید میزان کل مالیاتی )مثبت یا منفی( که گرفته میشد برابر کل میزانی باشد که به صرت مسای بین همه تقسیم میشد. پس خاهیم داشت: (w G n G + rk G )τ = 2T تجه کنید که خد متغیرهای سمت چپ تابع متغیرهای حالت هستند میتان بر حسب آنها جایگذاری کرد. ز( مالیاتی را در نظر بگیرید که از درآمد نیرهای عبدالحکیم گرفته میشد. در این صرت قید بدجه آنها به صرت زیر تغییر میکند:. c G + k G (1 δ)k G = (w G n G + rk G )(1 τ) در این صرت شرایط مرتبه ال برای مصرف عرضه نیری کار به صرت زیر خاهد بد. F. O. C [c G ] 1 c G = βv 1(k G, N, K, K G ) F. O. C [n G ] n Gψ 1 = βv 1 (k G, N, K, K G )w G (1 τ)

5 با ترکیب این د معادله خاهیم داشت: حال در صرتی که باال مقداری از c G. n Gψ 1 = w G (1 τ) c G, n G, w G τ پس خاهیم داشت: جاب مساله در حالت برنامهریز مرکزی باشند می تان با جایگذاری این مقادیر در معادله را پیدا کرد که جاب مساله رقابتی را برابر با مساله برنامهریز مرکزی می کند. c G. n G ψ 1 = w G (1 τ) τ = 1 cg. n G ψ 1 w G

6 سال ۲( الف( در این مساله متغیرهای حالت کنترل به صرت زیر هستند: متغیرهای حالت: متغیر کنترل: Y t, a t, z t Y t که در آن میزان ذخایر باقیمانده در ابتدای دره t x t است. بنابراین معادله بلمن به صرت زیر خاهد بد: v(y, a, z) = 0 x Y {P(x, a)x F(z, x) + βev(y, a, z z, a)} با این قید که: Y = Y x z = zπ a = aω ب( برای نشتن معادله ایلر باید شرط مرتبه ال را بنیسیم یعنی باید نسبت به مشتق بگیریم. x P x (x, a)x + P(x, a) F x (z, x) = βev Y (Y, a, z ) در این معادله سمت چپ به معنی افزایش سد در این دره به ازای یک احد افزایش در استخراج نفت )x( سمت راست امید ریاضی تغییر در تابع ارزش به ازای داشتن یک احد ذخیره کل کمتر در ابتدای دره بعد است. در اقع با یک احد افزایش استخراج در این دره درآمد به اندازه د جمله ال سمت چپ زیاد شده به اندازه جمله سم باید هزینه بیشتری بابت استخراج بدهیم که تفاضل این د مرد به معنی افزایش سد در این دره است با یک احد افزایش استخراج در این دره یک احد ذخیره کمتری در دره بعدی خاهیم داشت تابع ارزش بنگاه کاهش مییابد. در تعادل این د مرد باید با یکدیگر برابر باشند. در اقع اگر مساله استاتیک بد سمت راست معادله صفر میشد لی در اینجا که مساله دینامیک است انحصارگر قدرت انحصاری خد در آینده را نیز در بهینهسازی لحاظ میکند. ج( به منظر صفر نشدن تلید نفت باید سد نهایی ناشی از تلید نفت قتی که میزان تلید به صفر میل میکند بینهایت شد. زیرا در این صرت به هر حال میارزد که برای دره بعد حداقل یک مقدار بسیار کچک هم شده تلید داشته باشیم این دره تمام نفت را تمام نکنیم. این مرد برای همه درهها برقرار است بنابراین تلید صفر نمیشد. شرط ریاضی ری تابع دادهشده به صرت زیر خاهد بد. lim x 0 + د( = x)) x (P(x, a)x F(z, در حالتی که هیچ شکی نداشته باشیم تابع تقاضا خطی باشد همچنین تابع هزینه کل استخراج نیز درجه 2 باشد میتان حدس زد که جاب تابع ارزش به صرت عبارتی درجه 2 به صرت زیر باشد.

7 v(y) = A + BY + CY 2 با جایگذاری در معادله بلمن خاهیم داشت: A + BY + CY 2 = 0 x Y {(b x)x (c + dx + ex2 ) + β[a + B(Y x) + C(Y x) 2 ]} در این صرت شرط مرتبه ال به صرت زیر است: که از این معادله مقدار b 2x d 2ex βb 2βC(Y x) = 0 x بهینه به صرت تابعی خطی از Y به دست میآید. x = b d βb 2(1 + e βb) βc 1 + e βb Y اگر این x را در معادله بلمن جایگذاری کنیم سمت راست تسای تابعی درجه 2 از Y خاهد بد که نشان میدهد حدس ما مبنی بر درجه 2 بدن تابع ارزش درست بده است. نهایتا برای تکمیل جاب باید د سمت تسای را همارز قرار دهیم به این صرت که ضرایب ثابت ضرایب Y همچنین ضرایب آیند. )سه معادله سه مجهل( Y 2 را در د طرف تسای برابر قرار دهیم تا مقادیر B A به دست C